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/!<) OEUVBES DE CHARLES HEKMITE.
cette relation, si Ton introduit u et v au lieu de '\/k et (/X, devien-
dra
M2_ _ i
D'ailleurs, les valeurs correspondantes de v et de M sont, comme
on sait,
v = u'4[sin coam2p sin coam 4? • • • SU1 coam(/i— i)p].,
—5— fsin coam ao sin coam 4 P • • • sin coam(/i — 0°T2
M = (— I ) - -------:---------!-----:--------—--------:-------------------------- J
L sin amup sin am 4 p ,.. sin am( /i — 1)0 J
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<le sorte qu'en faisant
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K-4-iK1
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/i — i)K-|- t'K'
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p — —> —
' n. n |
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on obtiendra simultanement les n -\~ i valeurs de M et les n 4- i
racines c>0, p,, ..., vn de I'equation modulaire. Or les Equations entre M et A: onl pour coefficients des fonctions entieres de A1, celui de la plus haute puissance de M etant 1'unite, et le dernier la ccm-
n—\
stante num^rique -—— > de nianiere que le multiplicateur no
|>eut janiais devenir nul ou infini pour une valeur finie de k. Cette
proprietd importante, qui est due au P. Joubert, montfe; <|qe les valeurs de p et w, qui satisfont a I'equation modulaire et ^.sa,'46ri- Aree Q(p, zf) = o, annulent necessairement aussi le denominateuv <le M et, par suite, S?(P, u), si 1'on exclut les cas limites, it = o, «8 = i, auxquels correspondent, comme on sail, t> = o, ps=i. Cette restriction faile, on pent conclure que toutes lesautres solu- tions simultanees des equations @(c, '«) = o, 9(p, u) = o sonl doubles; ellcs annxilent, en eflet, la determinante fonctionnelle
dv du du dv ~~ du ' dv'
car, a cause de 1'equation 9 = o, cette determinante contienl, le
facteur 2?(p, «). C'est dire que tons les facteurs du discriminant, antres que u et i— u*: y entrent au carre, d'ou resulte que le polynome «04- a(u*4- .. ., qui ne contient pas ces facteurs et, par suite, le discriminant lui-meme, est un carre parfait. A la verite pourrait-on demander en toute rigueur de d^montrer qn'iJ |
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